중2-1 기말 수학 핵심 기출문제 20선

핵심 개념 & 공식 정리

시험 전 반드시 암기해야 할 핵심만 모았습니다

연립방정식의 뜻과 해

미지수가 2개인 일차방정식 2개를 한 쌍으로 묶은 것. 두 방정식을 동시에 만족하는 x, y의 값의 쌍이 연립방정식의 해입니다.

{ ax + by = c { dx + ey = f → 두 식을 동시에 만족하는 (x, y) 값

가감법 (핵심 공식)

두 방정식을 더하거나 빼서 미지수 하나를 없애는 방법

①×k ± ② 로 한 미지수 소거 → 한 변수 구하기 → 대입해서 나머지 구하기

⚠️ 암기! 가감법: 계수를 같게 만든 후 더하거나 빼기
계수가 같은 부호 → 빼기 | 계수가 다른 부호 → 더하기

예제

{ 2x + y = 7 , { x − y = 2 를 풀어라

두 식을 더하면 3x = 9 → x = 3, y = 1 ∴ (3, 1)

대입법

한 방정식을 한 미지수에 대해 정리한 후 다른 방정식에 대입하는 방법

y = (x식) → 다른 방정식에 대입 → x값 → y값

예제

{ y = 2x − 1 , { 3x + y = 9

3x + (2x−1) = 9 → 5x = 10 → x = 2, y = 3 ∴ (2, 3)

A = B = C 형 방정식

A = B = C 이면 → { A = B 와 { B = C 로 연립

⚠️ 주의! A=C와 B=C 쌍도 가능하지만 계산이 복잡할 수 있음. 가장 간단한 쌍을 선택!

해가 특수한 경우 암기!

해가 무수히 많다 → 두 방정식이 같은 식 (비율 동일) 해가 없다 → x, y 계수 비율 같고 상수항 비율 다를 때

암기법!
a/d = b/e = c/f → 해가 무수히 많음
a/d = b/e ≠ c/f → 해가 없음

활용 문제 풀이 단계

① 미지수 정하기: 구하는 것을 x, y로 놓는다
② 방정식 세우기: 조건에서 2개의 식을 만든다
③ 풀기: 가감법 또는 대입법으로 풀기
④ 확인: 문제의 조건에 맞는지 검토 (자연수, 양수 조건 확인!)

거리·속력·시간 공식 (필수 암기!)

거리 = 속력 × 시간 속력 = 거리 ÷ 시간 시간 = 거리 ÷ 속력

예제 (거리·속력)

시속 4 km로 걷다가 시속 8 km로 뛰어서 총 10 km를 2시간에 이동. 걸은 거리는?

걸은 거리 x, 뛴 거리 y
{ x + y = 10
{ x/4 + y/8 = 2
→ x = 4 km

농도 문제 공식 (핵심!)

소금의 양 = 농도(%) × 소금물의 양 ÷ 100 혼합 후: (소금양1) + (소금양2) = 혼합 소금양

⚠️ 암기! 혼합 전후 소금의 양은 보존됩니다. 물의 양이 아닌 소금의 양으로 방정식 세우기!

자릿수 문제

두 자리 수: 10a + b (a는 십의 자리, b는 일의 자리) 자리 바꾼 수: 10b + a

부등식의 성질 (필수 암기!)

① a > b이면 a+c > b+c, a-c > b-c ② a > b, c > 0이면 ac > bc, a/c > b/c ③ a > b, c < 0이면 ac < bc (부호 뒤집힘!) ④ a > b, b > c이면 a > c

⚠️ 핵심 주의! 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 뒤집힌다!
이것이 시험에서 가장 많이 틀리는 포인트입니다.

일차부등식 풀이 순서

① 괄호 풀기
② 분수는 분모의 LCM으로 양변 곱하기
③ 이항: x 항은 좌변, 상수는 우변으로
④ 동류항 정리
⑤ 계수로 나누기 (음수면 부등호 방향 뒤집기!)

예제

−2x + 3 > 7 풀기

−2x > 4 → x < −2 (음수 나눔 → 부등호 뒤집힘)

수직선 표현 암기

x > a → a를 포함 안 함 (빈 동그라미 ○) x ≥ a → a를 포함 (채운 동그라미 ●) x < a → a의 왼쪽 방향 x > a → a의 오른쪽 방향

연립부등식 풀이

각각의 부등식을 따로 풀고, 공통 부분(교집합)을 구한다.

{ A 풀기 → a < x < b { B 풀기 → c < x < d → 수직선에 겹치는 부분이 답

⚠️ 암기!
A ≤ x ≤ B 형태: A ≤ x와 x ≤ B를 동시에 만족
공통 부분이 없으면 → 해가 없다

A ≤ B ≤ C 형 연립부등식

a ≤ 2x+1 ≤ b 형태: → 전체에서 같은 수를 더하거나 빼거나 나누어 x 범위 구하기 (음수로 나누면 부등호 방향 모두 뒤집기!)

예제

1 ≤ 2x − 1 ≤ 5 를 풀어라

각 변에 +1: 2 ≤ 2x ≤ 6 → 각 변 ÷2: 1 ≤ x ≤ 3

함수의 뜻

x의 값이 정해지면 그에 따라 y의 값이 오직 하나로 정해지는 관계

함수가 아닌 경우: x 하나에 y가 2개 이상 대응되는 경우 (예: y² = x)

일차함수의 정의 (핵심!)

y = ax + b (a ≠ 0) a: 기울기 (x가 1 증가할 때 y의 변화량) b: y절편 (x=0일 때 y값)

기울기 공식 (필수 암기!)

기울기 = y의 증가량 / x의 증가량 = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) 두 점 (x₁,y₁), (x₂,y₂)을 지날 때 사용

예제

두 점 (1, 3), (3, 7)을 지나는 직선의 기울기는?

(7−3)/(3−1) = 4/2 = 2

일차함수 식 구하기

방법1 기울기 a, y절편 b 알 때: y = ax + b 바로 쓰기 방법2 기울기 a, 한 점 (x₁,y₁) 알 때: y − y₁ = a(x − x₁) 방법3 두 점을 알 때: 기울기 먼저 구하고 방법2 사용

그래프 모양 결정 (핵심 암기!)

기울기 a > 0 → 오른쪽 위로 올라가는 직선 기울기 a < 0 → 오른쪽 아래로 내려가는 직선 |a| 클수록 → 기울기 급함 (수직에 가까움) |a| 작을수록 → 기울기 완만 (수평에 가까움)

⚠️ 암기!
a>0, b>0: 1,2,3사분면 통과
a>0, b<0: 1,3,4사분면 통과
a<0, b>0: 1,2,4사분면 통과
a<0, b<0: 2,3,4사분면 통과

x절편과 y절편

y = ax + b에서 x절편: y = 0 대입 → x = −b/a y절편: x = 0 대입 → y = b

두 직선의 관계

평행: 기울기 같고, y절편 다름 (a₁ = a₂, b₁ ≠ b₂) 일치: 기울기 같고, y절편 같음 (a₁ = a₂, b₁ = b₂) 수직: 기울기의 곱 = −1 (a₁ × a₂ = −1)

⚠️ 시험 단골! 일차함수와 일차방정식의 관계
ax + by + c = 0 의 그래프 → y = (−a/b)x − c/b (기울기: −a/b, y절편: −c/b)

일차함수와 일차방정식 (연계!)

x = k → y축에 평행한 직선 (수직선) y = k → x축에 평행한 직선 (수평선) 연립방정식의 해 = 두 직선의 교점

중2-1 기말수학 핵심 기출문제